CALCULO DIFERENCIAL

Dos problemas, ambos de geometría, motivan las dos ideas más importantes en cálculo. El problema de encontrar la recta tangente a una curva nos llevó a la definición de la derivada. El problema de encontrar el área nos conducirá a la integral definida para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de recta), la dificultad de encontrar el área apenas si es un problema. Si iniciamos definiendo el área de un rectángulo como la conocida largo por ancho y a partir de esta manera sucesiva deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo, un triángulo y cualquier polígono. Aun en esta sencilla configuración, es claro que el área debe satisfacer cinco propiedades.

• 1. El área de una región plana es un número real no negativo.

• 2. El área de cualquier polígono está en unidades de longitud cuadradas.

• 3. Regiones congruentes tienen áreas iguales.

• 4. El área de dos regiones que se traslapan sólo en un segmento de recta es la suma de las áreas de las dos regiones.

• 5. Si una región está contenida en una segunda región, entonces el área de la primera región es menor ó igual a la de la segunda.